Shine A Light :: Majorization

2009/09/04 13:55

Majorization

출처 : Wikipedia

In mathematics, majorization is a partial order over vectors of real numbers. Given $\mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathbb{R}^d$ , we say that $\mathbf{a}$ majorizes $\mathbf{b}$ , and we write $\mathbf{a} \succeq \mathbf{b}$ , if $\sum_{i=1}^d a_i = \sum_{i=1}^d b_i$ and for all $k \in \{1, \ldots, d-1\}$ ,

$\sum_{i=1}^k a_i^{\downarrow} \geq \sum_{i=1}^k b_i^{\downarrow},$

where $a^{\downarrow}_i$ and $b^{\downarrow}_i$ are the elements of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ , respectively, sorted in decreasing order. Equivalently, we say that $\mathbf{a}$ dominates $\mathbf{b}$ , or that $\mathbf{b}$ is majorized (or dominated) by $\mathbf{a}$ .

결국 majorization이라는 것은 어떠한 실수값을 가지는 벡터의 특정한 순서를 의미하는 것으로서, 두개의 벡터 a,b를 비교하였을 때, $a^{\downarrow}_i$ 의 값이 $b^{\downarrow}_i$ 보다 항상 크거나 같아야 하며 각각의 원소의 모든 값이 같거나 a가 커야 한다. 결국 이러한 형태로 만드는 것이 majorization이라 할 수 있을 것 같다..

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